Wichtige Begriffe

Im Folgenden werden einige für das frühe mathematische Lernen wesentliche Begriffe näher erläutert:

Klassifikation

Klassifikation bezeichnet den Vorgang, ähnliches zu Gruppen zusammenzufassen und so zu sortieren. Um die „Klassen“ zu bezeichnen, werden Begriffe benötigt. Das können Adjektive sein (gross, blau, schnell, teuer, weich), Substantive (Kinder der Bärengruppe, Bauklötze, Be-steck, Geldscheine), aber auch weitergehende Beschreibungen (Dinge, die leicht kaputt gehen; runde, gelbe Holzperlen; Essen, das ich gerne mag). Charakteristisch ist jeweils, dass man für jedes Objekt entscheiden kann oder muss, ob „es dazugehört oder nicht“.

Ist diese Entscheidung schwierig, führt das oft dazu, dass feinere „Klassen“ gebildet werden. (Ich mag Pizza sehr gern, Pfannkuchen nicht so gern, aber schon noch gern, aber Fisch mag ich gar nicht).Im Hin-blick auf Zahlen meint Klassifikation, dass Mengen mit gleicher Anzahl zusammengefasst wer-den: 4 Gummibärchen oder auch 4 Elefanten bilden jeweils eine Menge mit der „Mächtigkeit“ 4. 

Seriation

Oft (aber nicht immer) lassen sich Objekte anhand eines Kriteriums in eine sinnvolle Reihenfolge bringen, nämlich dann, wenn man etwas nach Grösse, Preis, Anzahl, Dauer o.ä. ordnen kann. Charakteristisch hierfür ist, dass man ein weiteres Objekt immer an einer bestimmten Stelle einreihen kann. Das ist z.B. der Fall beim Aufstellen in einer Reihe, bei Wettbewerben, bei der Konstruktion einer Treppe oder auch beim Vorgang des Zählens.

Relation

Der Begriff der Relation ist etwas umfassender und schliesst die vorherigen Begriffe mit ein: Objekte können ganz allgemein in Beziehung zueinander gesetzt werden. Die Beziehung „gehört zu“ entspricht dabei z.B. der Klassifikation, während die Beziehungen „grösser/kleiner“, oder „schneller/langsamer“ der Seriation entsprechen. Darüber hinaus gibt es aber noch andere Beziehungen, z.B. „ist Teil von“, „besteht aus“, „ist Voraussetzung für“, „entsteht aus“, „ist abhängig von“ usw. Um Relationen als solche zu sehen, sind immer auch geistige Leistungen (oft Abstraktionen) notwendig. Auch im Umgang mit Zahlen spielen Relationen eine wichtige Rolle. Denn eine Zahl gewinnt ihre Bedeutung immer in Relationen zu anderen Zahlen, so ist 6 2 mehr als 4 und doppelt so viel wie 3 und bis zur 10 fehlen 4.

Invarianz

Eine herausragende Fähigkeit unserer Wahrnehmung ist es, Dinge auch dann wiederzuerkennen, wenn unsere Sinneseindrücke abweichen. So erkennen wir z.B. die grünen Blätter eines Baumes auch bei wechselnden Beleuchtungsverhältnissen als grün, wir erkennen Menschen mit neuer Brille, neuer Frisur und anderen Kleidern wieder und wir erkennen ein Lied, auch wenn die Melodie nur annähernd gesummt oder gepfiffen wird. Das Wissen über das Wesen der Dinge hilft uns dabei, unsere Sinneseindrücke zu deuten. Die Wahrnehmung ist, wie es das Wort bereits ausdrückt, ein aktiver Vorgang: Wir „sehen“ eine Person, die weit entfernt läuft, viel kleiner als eine Person, die unmittelbar vor uns steht – und trotzdem nehmen wir die entfernte Person nicht als tatsächlich winzig wahr.

Diese Fähigkeit, Dinge auch dann noch als in ihrem Wesen unverändert zu verstehen, wenn ihr Aussehen sich für uns ändert, differenziert sich erst im Laufe der Entwicklung aus. Dass sich z.B. die Länge einer Schnur nicht ändert, nur weil ich sie „anders hinlege“, wissen Kinder normalerweise schon im Kindergartenalter. Man sagt, sie haben ein Verständnis für die Invarianz der Länge. Für andere Grössen oder auch für grössere Mengen muss diese Erkenntnis der Invarianz i.d.R. im Kindergarten und Primarschulalter durch entsprechende Erfahrungen gewonnen werden. Die Invarianz ist ein wichtiger Aspekt bei der Klassifizierung anhand von Grössen.

Teile-Ganze-Beziehungen

Für das Verständnis von Zahlen ist die Erkenntnis wichtig, dass verschiedene Teile zusammen zwar ein Ganzes bilden können, dass die einzelnen Teile darin aber nicht verschwinden, sondern rekonstruierbar sind. So lassen sich z.B. mit Legosteinen wunderbare Werke bauen – und trotzdem bleiben die einzelnen Steine als solche erkennbar. Oder man kann zu drei Keksen zwei weitere dazugeben und hat dann fünf Kekse. Zu diesen fünf Keksen gehören aber weiter-hin die drei Kekse und die zwei Kekse, die man dazugegeben hat - es sind nicht fünf „neue“ Kekse geworden, wohl aber hat sich die Gesamtzahl der Kekse verändert. Etwas anderes passiert allerdings beim Mischen von Sirup mit Wasser, hier kann man die „Teile“ nicht mehr direkt sehen. Eine Teile-Ganze-Beziehung kann man demzufolge als eine spezielle Relation zwischen Objekten auffassen.